Question

已知函數f（x）=|x-a|，g（x）=x²+2ax+1（a為正常數），且函數f（x）與g（x）的圖象在y軸上的截距相等．
（I）求a的值；
（II）求函數h（x）=f（x）+g（x）的單調遞增區間．

Answer 1

分析：（I）由已知中函數f（x）與g（x）的圖象在y軸上的截距相等，結合函數f（x）=|x-a|，g（x）=x²+2ax+1（a為正常數），我們可以構造關于a的方程，解方程可以求出a的值
（II）由（1）中結論，我們可以得到函數h（x）=f（x）+g（x）的解析式，利用零點分段法，我們可以將其轉化為分段函數的形式，再由二次函數的性質，即可分析出函數的單調遞增區間．

解答：解：（I）∵函數f（x）與g（x）的圖象在y軸上的截距相等
∴f（0）=g（0），即|a|=1…（2分）
又a＞0，所以a=1．           …（4分）
（II） 由（I）可知f（x）=|x-1|，g（x）=x²+2x+1…（6分）
∴h(x)=f( x )+g( x )=|x-1|+x2+2x+1=

(x+ 1 2 )2+ 7 4 ，x＜1 (x+ 3 2 )2- 9 4 ，x≥1

…（9分）
∴h(x)在[-

1

2

，1)和[1，+∞)上都是單調遞增函數．，…（11分）
又∵(1+

1

2

)2+

7

4

=(1+

3

2

)2-

9

4

，
∴h(x)在[-

1

2

，+∞)上是單調遞增函數．…（13分）
故h(x)的單調遞增區間為[-

1

2

，+∞)…（14分）

點評：本題考查的知識點是函數與方程的綜合運用，函數的單調性及單調區間，零點分段法，二次函數的性質，其中利用零點分段法將函數的解析式化為分段函數的形式，進而轉化為二次函數單調性的判斷問題是解答本題的關鍵．