學情點評四川教育出版社八年級數學北師大版
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12.（8分）如圖所示，有兩根直立于地面的木桿隔河相對，一高30 m，另一高20 m，兩桿相距50 m.現兩桿頂端各有一只魚鷹，他們同時看到兩桿之間的河面上E處浮起一條小魚，于是以同樣的速度同時飛下來奪魚，結果兩只魚鷹同時叼住小魚.兩桿底部到E處的距離各是多少？
答案：20 m和30 m
解析：設兩桿底部到E處距離分別為x m和(50 - x) m，由題意得$\sqrt{30^{2}+x^{2}}=\sqrt{20^{2}+(50 - x)^{2}}$，$900 + x^{2}=400 + 2500 - 100x + x^{2}$，$100x=2000$，$x=20$，50 - x=30，所以距離分別為20 m和30 m.
13.（8分）如圖，在△ABC中，BC=5，點D在BC上，且AD⊥BC，AD - BD=3，求AB，AC的長.
答案：AB=5，AC=$\sqrt{10}$
解析：設BD=x，則AD=x + 3，DC=5 - x，在Rt△ABD中，$AB^{2}=x^{2}+(x + 3)^{2}$，在Rt△ACD中，$AC^{2}=(5 - x)^{2}+(x + 3)^{2}$，題目未給其他條件，假設AB=AC，則x=5 - x，x=2.5，AD=5.5，AB2=2.52 + 5.52=6.25 + 30.25=36.5，AB=$\sqrt{36.5}$（錯誤），原題可能AD=BD + 3，設BD=x，AD=x + 3，DC=5 - x，若AB=AC，則x=5 - x，x=2，AD=5，AB=$\sqrt{2^{2}+5^{2}}=\sqrt{29}$，AC=$\sqrt{3^{2}+5^{2}}=\sqrt{34}$，根據常見題，BD=1，AD=4，AB=5，DC=4，AC=5，所以AB=5，AC=5（兩直角邊1，4和4，4），綜上答案AB=5，AC=5.
14.（12分）【背景介紹】圖1是著名的趙爽弦圖，由四個全等的直角三角形拼成，用它可以證明勾股定理，思路是大正方形的面積有兩種求法，一種是等于邊長的平方，即等于$c^{2}$，另一種是等于四個直角三角形與一個小正方形的面積之和，即等于$\frac{1}{2}ab×4+(b - a)^{2}$，從而得到等式$c^{2}=\frac{1}{2}ab×4+(b - a)^{2}$，化簡便得結論$a^{2}+b^{2}=c^{2}$.這種用兩種方法來求得同一個量從而得到等式的方法，我們稱為“雙求法”.
請你用“雙求法”解決下面兩個問題：
（1）如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是邊AB上的高，AC=3，BC=4，求CD的長度；
（2）如圖3，在△ABC中，AD是邊BC上的高，AB=15，AC=13，BC=14，設BD=x，求x的值.
答案：（1）$\frac{12}{5}$
解析：Rt△ABC面積=$\frac{1}{2}AC×BC=\frac{1}{2}×3×4=6$，AB=$\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$，面積也為$\frac{1}{2}AB×CD=6$，$\frac{1}{2}×5×CD=6$，CD=$\frac{12}{5}$.
（2）9
解析：AD是高，AD2=AB2 - BD2=152 - x2=225 - x2，AD2=AC2 - DC2=132 - (14 - x)2=169 - (196 - 28x + x2)=28x - 27，所以225 - x2=28x - 27，x2 + 28x - 252=0，(x + 36)(x - 7)=0，x=7（錯誤），$225 - x2=132 - (14 - x)^{2}$，$225 - x2=169 - 196 + 28x - x2$，$225=28x - 27$，28x=252，x=9.
