Question

【題目】如圖（1），在中，已知，，把一塊含角的三角板的直角頂點放在的中點上（直角三角板的短直角邊為，長直角邊為），將直角三角板繞點按逆時針方向旋轉．

（1）在圖（1）中，交于，交于．

①證明；

②在這一過程中，直角三角板與的重疊部分為四邊形，請說明四邊形的面積是否發生變化？若發生變化，請說明是如何變化的，若不發生變化，求出其面積．

（2）繼續旋轉至如圖（2）的位置，延長交于，延長交于，是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①見解析；②四邊形的面積不發生變化．；（2）仍然成立．證明見解析；（3）．

【解析】

（1）①連接BD，證明△DMB≌△DNC．根據已知，全等條件已具備兩個，再證出∠MDB=∠NDC，用ASA證明全等，

②四邊形DMBN的面積不發生變化，因為它的面積始終等于△ABC面積的一半；

（2）成立．同樣利用（1）中的證明方法可以證出△DMB≌△DNC；

（1）①如圖1，連接DB，在Rt△ABC中，AB=BC，AD=DC，

∴DB=DC=AD，∠BDC=90°，

∴∠ABD=∠C=45°，

∵∠MDB+∠BDN=∠CDN+∠BDN=90°，

∴∠MDB=∠NDC，

∴△BMD≌△CND（ASA），

∴DM=DN；

②四邊形DMBN的面積不發生變化；

由①知△BMD≌△CND，

∴S△BMD=S△CND，

∴．

（2）仍然成立．證明：

如圖（2），聯結，在中，，，

∴，．

∴．

∴．

∵，

∴．

在和中，

，

∴≌（ASA）．

∴．