Question

【題目】為了迎接五一黃金周的購物高峰，某品牌專賣店準備購進甲、乙兩種運動鞋．其中甲、乙兩種運動鞋的進價和售價如下表：

運動鞋價格	甲	乙
進價（元/雙）	m	m﹣30
售價（元/雙）	240	160

已知：用3000元購進甲種運動鞋的數量與用2400元購進乙種運動鞋的數量相同．

（1）求m的值;

（2）若購進乙種運動鞋x（雙），要使購進的甲、乙兩種運動鞋共200雙的總利潤（利潤＝售價﹣進價）不少于13000元且不超過13500元，問該專賣店有幾種進貨方案;

（3）在（2）的條件下求出總利潤y（元）與購進乙種運動鞋x（雙）的函數關系式，并用關系式說明哪種方案的利潤最大，最大利潤是多少.

Answer 1

【答案】（1）150；（2）11種；（3）y＝﹣50x+18000，當購進甲種運動鞋110雙，乙種運動鞋90雙時獲得最大利潤，最大利潤是13500元．

【解析】

（1）用總價除以單價表示出購進鞋的數量，根據兩種鞋的數量相等列出方程求解即可；

（2）根據購進乙種運動鞋x雙，表示出甲種運動鞋（200－x）雙，然后根據總利潤列出一元一次不等式組，求出不等式組的解集后，再根據鞋的雙數是正整數解答；

（3）根據總利潤等于兩種鞋的利潤之和列式整理，然后根據一次函數的增減性求出當x為何值時，可以取得最大利潤，并寫出方案即可．

解：（1）由題意可得：，

解得：m＝150，

經檢驗，m＝150是原分式方程的解，m－30=120，

所以m的值是150；

（2）∵購進乙種運動鞋x雙，購進的甲、乙兩種運動鞋共200雙，

∴購進甲種運動鞋為（200－x）雙，

根據題意得：，

解得：90≤x≤100，

∵x為正整數，

∴x＝90，91，92，93，…，100，

∴該專賣店有11種進貨方案；

（3）由題意可得，

y＝(240－150)×(200－x)+(160－120)x＝－50x+18000，

∵－50<0，

∴y隨x的增大而減小，

又∵90≤x≤100且x為正整數，

∴當x＝90時，y取得最大值，此時y＝－50×90+18000＝13500，200－x＝110，

答：在（2）的條件下總利潤y（元）與購進乙種運動鞋x（雙）的函數關系式是y＝－50x+18000，當購進甲種運動鞋110雙，乙種運動鞋90雙時獲得最大利潤，最大利潤是13500元．