Question

【題目】在⊙O中，AB為直徑，C為⊙O上一點．

（1）如圖1，過點C作⊙O的切線，與AB延長線相交于點P，若∠CAB=27°，求∠P的度數；

（2）如圖2，D為弧AB上一點，OD⊥AC，垂足為E，連接DC并延長，與AB的延長線交于點P，若∠CAB=10°，求∠P的大小．

Answer 1

【答案】（1）∠P =36°；（2）∠P=30°．

【解析】

試題（Ⅰ）連接OC，首先根據切線的性質得到∠OCP=90°，利用∠CAB=27°得到∠COB=2∠CAB=54°，然后利用直角三角形兩銳角互余即可求得答案；

（Ⅱ）根據E為AC的中點得到OD⊥AC，從而求得∠AOE=90°﹣∠EAO=80°，然后利用圓周角定理求得∠ACD=∠AOD=40°，最后利用三角形的外角的性質求解即可．

試題解析：（Ⅰ）如圖，連接OC，

∵⊙O與PC相切于點C，

∴OC⊥PC，即∠OCP=90°，

∵∠CAB=27°，

∴∠COB=2∠CAB=54°，

在Rt△AOE中，∠P+∠COP=90°，

∴∠P=90°﹣∠COP=36°；

（Ⅱ）∵E為AC的中點，

∴OD⊥AC，即∠AEO=90°，

在Rt△AOE中，由∠EAO=10°，

得∠AOE=90°﹣∠EAO=80°，

∴∠ACD=∠AOD=40°，

∵∠ACD是△ACP的一個外角，

∴∠P=∠ACD﹣∠A=40°﹣10°=30°．