Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知點A的坐標為（0，2），點B的坐標為（1，0），連結AB，以AB為邊在第一象限內作正方形ABCD，直線BD交雙曲線y═（k≠0）于D、E兩點，連結CE，交x軸于點F．

（1）求雙曲線y＝（k≠0）和直線DE的解析式．

（2）求的面積．

Answer 1

【答案】（1）y＝，y＝3x﹣3；（2）

【解析】

（1）作DM⊥y軸于M，通過證得（AAS），求得D的坐標，然后根據待定系數法即可求得雙曲線y＝（k≠0）和直線DE的解析式．

（2）解析式聯立求得E的坐標，然后根據勾股定理求得DE和DB，進而求得CN的長，即可根據三角形面積公式求得△DEC的面積．

解：∵點A的坐標為（0，2），點B的坐標為（1，0），

∴OA＝2，OB＝1，

作DM⊥y軸于M，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BAD＝90°，AB＝AD，

∴∠OAB+∠DAM＝90°，

∵∠OAB+∠ABO＝90°，

∴∠DAM＝∠ABO，

在和中

，

∴（AAS），

∴AM＝OB＝1，DM＝OA＝2，

∴D（2，3），

∵雙曲線經過D點，

∴k＝2×3＝6，

∴雙曲線為y＝，

設直線DE的解析式為y＝mx+n，

把B（1，0），D（2，3）代入得，

解得，

∴直線DE的解析式為y＝3x﹣3；

（2）連接AC，交BD于N，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴BD垂直平分AC，AC＝BD，

解

得或，

經檢驗：兩組解都符合題意，

∴E（﹣1，﹣6），

∵B（1，0），D（2，3），

∴DE＝＝，DB＝＝，

∴CN＝BD＝，

∴