Question

【題目】閱讀材料：如圖，與都是等腰直角三角形，且點在邊上，，的中點均為，連接，，，顯然，點，，在同一條直線上，可以證明，所以

解決問題：

（1） 將圖中的繞點旋轉到圖的位置， 猜想此時線段與的數量關系，并證明你的結論．

（2） 如圖，若與都是等邊三角形，，的中點均為，上述中結論仍然成立嗎？如果成立，請說明理由；如果不成立，請求出與之間的數量關系．

（3） 如圖， 若與都是等腰三角形，，的中點均為，且頂角，與之間的數量關系如何（用含的式子表示出來）？請直接寫出結果．

Answer 1

【答案】（1），證明見解析；（2）（1）中的結論不成立，為；（3）

【解析】

（1）如答圖②所示，連接OC、OD，由全等三角形的判定定理SAS證明△BOF≌△COD；

（2）如答圖③所示，連接OC、OD，由等邊三角形的性質和銳角三角函數的定義推知，結合∠BOF＝∠COD即可證明△BOF∽△COD，相似比為；
（3）如答圖④所示，連接OC、OD，由等邊三角形的性質和銳角三角函數的定義推知，結合∠BOF＝∠COD即可證明△BOF∽△COD，相似比為tan．

解：（1）猜想：，

證明如下：連接，，如解圖所示

解圖1

為等腰直角三角形，點為斜邊的中點，

，

為等腰直角三角形，點為斜邊的中點，

，，

，

，

，

在與中，，

，

；

（2）中的結論不成立

連接，，如解圖所示

解圖2

為等腰直角三角形，點為斜邊的中點，

，，

為等腰直角三角形，點為斜邊的中點，

，，

，

，

，

，

在與中，，

；

（3）如解圖3所示，連接OC、OD，

解圖3
∵△ABC為等腰三角形，點O為底邊AB的中點，
∴，∠BOC＝90°，
∵△DEF為等腰三角形，點O為底邊EF的中點，
∴，∠DOF＝90°，
∴，
∵∠BOF＝∠BOC＋∠COF＝90°＋∠COF，∠COD＝∠DOF＋∠COF＝90°＋∠COF，
∴∠BOF＝∠COD，
在△BOF與△COD中，
∵，∠BOF＝∠COD，
∴△BOF∽△COD，
∴．