Question

【題目】如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，P是AD上一動(dòng)點(diǎn)，連接BP，過(guò)點(diǎn)A作BP的垂線，垂足為F，交BD于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)G．

（1）當(dāng)AB=AD，且P是AD的中點(diǎn)時(shí)，求證：AG=BP；

（2）在（1）的條件下，求的值；

（3）類比探究：若AB=3AD，AD=2AP，的值為　　．（直接填答案）

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）（3）

【解析】

（1）根據(jù)BP⊥AG，AB=AD，四邊形ABCD是矩形，運(yùn)用AAS判定△ABP≌△DAG，即可得出AG=BP；

（2）根據(jù)△ABP≌△DAG，得出AP=DG，再根據(jù)AP=AD，即可得到DG=AD=AB，再根據(jù)AB∥CD，判定△DGE∽△BAE，最后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得出==；

（3）設(shè)AP=a，則AD=2AP=2a，AB=3AD=6a，根據(jù)△ABP∽△DAG，即可求得=，得出DG=a，再根據(jù)△DGE∽△BAE，運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)，得出===即可.

（1）如圖，∵BP⊥AG，∠BAD=90°，

∴∠ABF+∠BAF=90°，∠BAF+∠DAG=90°，

∴∠ABF=∠DAG，

在△ABP和△DAG中，

，

∴△ABP≌△DAG（AAS），

∴AG=BP；

（2）∵△ABP≌△DAG，

∴AP=DG，

∵AP=AD，

∴DG=AD=AB，

∵AB∥CD，

∴△DGE∽△BAE，

∴==；

（3）設(shè)AP=a，則AD=2AP=2a，AB=3AD=6a，

∵BP⊥AG，∠BAD=90°，

∴∠ABF+∠BAF=90°，∠BAF+∠DAG=90°，

∴∠ABF=∠DAG，

又∵∠BAP=∠ADG，

∴△ABP∽△DAG，

∴=，即==3，

∴DG=a，

∵AB∥GD，

∴△DGE∽△BAE，

∴===．

故答案為：．