Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+bx+c（a＞0）與x軸相交于點A（﹣1，0）和點B，與y軸交于點C，對稱軸為直線x=1．

（1）求點C的坐標（用含a的代數式表示）；

（2）聯結AC、BC，若△ABC的面積為6，求此拋物線的表達式；

（3）在第（2）小題的條件下，點Q為x軸正半軸上一點，點G與點C，點F與點A關于點Q成中心對稱，當△CGF為直角三角形時，求點Q的坐標．

Answer 1

【答案】（1）C（0，﹣3a）；(2) y=x2﹣2x﹣3；(3) Q的坐標為（4，0）或（9，0）

【解析】試題分析：（1）由A點坐標和二次函數的對稱性可求出B點的坐標為（3,0），根據兩點式寫出二次函數解析式，再令y=0，求出y的值，即可的點C的坐標；

（2）由A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3a），求出AB、OC的長，然后根據△ABC的面積為6，列方程求出a的值；

（3）設點Q的坐標為（m，0）．過點G作GH⊥x軸，垂足為點H，如圖，分兩種情況求解：當Rt△QGH∽Rt△GFH時，求得m的一個值；當Rt△GFH∽Rt△FCO時，求得m的另一個值.

解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+c（a＞0）的對稱軸為直線x=1，

而拋物線與x軸的一個交點A的坐標為（﹣1，0）

∴拋物線與x軸的另一個交點B的坐標為（3，0）

設拋物線解析式為y=a（x+1）（x﹣3），

即y=ax2﹣2ax﹣3a，

當x=0時，y=﹣3a，

∴C（0，﹣3a）；

（2）∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3a），

∴AB=4，OC=3a，

∴S△ACB=ABOC=6，

∴6a=6，解得a=1，

∴拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3；

（3）設點Q的坐標為（m，0）．過點G作GH⊥x軸，垂足為點H，如圖，

∵點G與點C，點F與點A關于點Q成中心對稱，

∴QC=QG，QA=QF=m+1，QO=QH=m，OC=GH=3，

∴OF=2m+1，HF=1，

當∠CGF=90°時，

∵∠QGH+∠FGH=90°，∠QGH+∠GQH=90°，

∴∠GQH=∠HGF，

∴Rt△QGH∽Rt△GFH，

∴=，即=，解得m=9，

∴Q的坐標為（9，0）；

當∠CFG=90°時，

∵∠GFH+∠CFO=90°，∠GFH+∠FGH=90°，

∴∠CFO=∠FGH，

∴Rt△GFH∽Rt△FCO，

∴=，即=，解得m=4，

∴Q的坐標為（4，0）；

∠GCF=90°不存在，

綜上所述，點Q的坐標為（4，0）或（9，0）．