Question

【題目】如圖，已知AB為⊙O的直徑，C為⊙O上異于A、B的一點，過C點的切線與BA的延長線交于D點，E為CD上一點，連接EA并延長交⊙O于H，F為EH上一點，且EF＝CE，CF交延長線交⊙O于G．

（1）求證：弧AG＝弧GH；

（2）若E為DC的中點，sim∠CDO＝，AH＝2，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）⊙O的半徑為3

【解析】

（1）連接AC，BC，根據AB為⊙O的直徑，可得∠B+∠CAO＝90°，根據CD為⊙O的切線，可得∠ECA+∠ACO＝90°，再根據等邊對等角和角的和差關系可得∠ACG＝∠GAF＝∠GCH，即可得證．

（2）過點E作EN⊥DA，連接OC，OG，OG與AH交于點M，設CO＝x，根據勾股定理、三角函數和相似三角形的性質列式求出x的值即可．

（1）證明：如圖1，連接AC，BC，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∴∠B+∠CAO＝90°，

∵CD為⊙O的切線，

∴∠ECA+∠ACO＝90°，

∵OC＝OA，

∴∠ACO＝∠OAC，

∴∠ECA＝∠B，

∵EF＝CE，

∴∠ECF＝∠EFC，

∵∠ECF＝∠ECA+∠ACG，∠EFC＝∠GAF+∠G，

∵∠ECA＝∠B＝∠G，

∴∠ACG＝∠GAF＝∠GCH，

∴；

（2）解：過點E作EN⊥DA，連接OC，OG，OG與AH交于點M，

∵，

∴OG⊥AH，AM＝MH＝，

∵CD是⊙O的切線，

∴∠DCO＝90°，

設CO＝x，

∵sin∠CDO＝＝，

∴DO＝3x，

∴，

∵E為DC的中點，

∴CE＝DE＝＝，

∴，

∴，

∴，

∵∠EAN＝∠OAM，∠ENA＝∠OMA，

∴△AEN∽△AOM，

∴，

∴，

∴OM＝，

在Rt△AOM中，OA＝．

∴⊙O的半徑為3．