Question

【題目】已知：

圖1 圖2 圖3

（1）初步思考：

如圖1， 在中，已知，BC=4，N為BC上一點且，試說明：

（2）問題提出：

如圖2，已知正方形ABCD的邊長為4，圓B的半徑為2，點P是圓B上的一個動點，求的最小值．

（3）推廣運用：

如圖3，已知菱形ABCD的邊長為4，∠B﹦60°，圓B的半徑為2，點P是圓B上的一個動點，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）5；（3）最大值

【解析】

（1）利用兩邊成比例，夾角相等，證明∽，得到，即可得到結論成立；

（2）在BC上取一點G，使得BG=1，由△PBG∽△CBP，得到，當D、P、G共線時，的值最小，即可得到答案；

（3）在BC上取一點G，使得BG=1，作DF⊥BC于F，與（2）同理得到，當點P在DG的延長線上時，，即可得到答案.

（1）證明：∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴；

（2）解：如圖，在BC上取一點G，使得BG=1，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴；

∵，

∴當D、P、G共線時，的值最小，

∴最小值為：；

（3）如圖，在BC上取一點G，使得BG=1，作DF⊥BC于F，

與（2）同理，可證，

在Rt△CDF中，∠DCF=60°，CD=4，
∴DF=CDsin60°=，CF=2，
在Rt△GDF中，DG=，

∴，

當點P在DG的延長線上時，，

∴最大值為：.