Question

【題目】如圖，以的邊上一點為圓心的圓，經過、兩點，且與邊交于點，為的下半圓弧的中點，連接交于，若．

（1）求證：是的切線；

（2）若，，求的半徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）3

【解析】

（1）連接OA、OD，求出∠D+∠OFD=90°，推出∠CAF=∠CFA，∠OAD=∠D，求出∠OAD+∠CAF=90°，根據切線的判定推出即可；

（2）OD=r，OF=8-r，在Rt△DOF中根據勾股定理得出方程，求出即可．

解：

（1）證明：連接OA，

∵D為BE的下半圓弧的中點，OD過圓心，

∴OD⊥BE，

∴∠ODF+∠OFD=90°，

∵CA=CF，

∴∠CAF=∠CFA，

而∠CFA=∠OFD，

∴∠ODF+∠CAF=90°，

∵OA=OD，

∴∠ODA=∠OAD，

∴∠OAD+∠CAF=90°，即∠OAC=90°，

∴OA⊥AC，OA是⊙O的半徑，

∴AC是⊙O的切線；

（2）解：設⊙O的半徑為r，則OF=4﹣r，

在Rt△ODF中，，解得r1=3，r2=1（舍去），

即⊙O的半徑為3．