Question

【題目】已知拋物線y=mx2+2mx+m-1和直線y=mx+m-1，且m≠0．

（1）求拋物線的頂點坐標；

（2）試說明拋物線與直線有兩個交點；

（3）已知點T（t，0），且-1≤t≤1，過點T作x軸的垂線，與拋物線交于點P，與直線交于點Q，當0＜m≤3時，求線段PQ長的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（-1，-1）；（2）見解析；（3）PQ的最大值為6.

【解析】

（1）化為頂點式即可求頂點坐標;

（2）由y=mx2+2mx+m-1和y=mx+m-1可得：mx2+2mx+m-1=mx+m-1，整理得，mx（x+1）=0，即可知拋物線與直線有兩個交點;

（3）由（2）可得：拋物線與直線交于（-1，-1）和（0，m-1）兩點，點P的坐標為（t，mt2+2mt+m-1），點Q的坐標為（t，mt+m-1）． 故分兩種情況進行討論：①如圖1，當-1≤t≤0時；②如圖2，當0＜t≤1時，求出對應的最大值即可．

解：（1）∵y=mx2+2mx+m-1=m（x+1）2-1，

∴拋物線的頂點坐標為（-1，-1）．

（2）由y=mx2+2mx+m-1和y=mx+m-1可得：mx2+2mx+m-1=mx+m-1，

mx2+mx=0，mx（x+1）=0，

∵m≠0，

∴x1=0，x2=-1．

∴拋物線與直線有兩個交點．

（3）由（2）可得：拋物線與直線交于（-1，-1）和（0，m-1）兩點，

點P的坐標為（t，mt2+2mt+m-1），點Q的坐標為（t，mt+m-1）．

①如圖1，當-1≤t≤0時，PQ==．

∵m＞0，

當時，PQ有最大值，且最大值為．

∵0＜m≤3，∴≤，即PQ的最大值為．

②如圖2，當0＜t≤1時，PQ==．

∵m＞0，

∴當t=1時，PQ有最大值，且最大值為2m．

∵0＜m≤3，

∴0＜2m≤6，即PQ的最大值為6．

綜上所述，PQ的最大值為6．