Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，將拋物線y=x2平移，使平移后的拋物線經過點A（–3，0）、B（1，0）．

(1)求平移后的拋物線的表達式．

(2)設平移后的拋物線交y軸于點C，在平移后的拋物線的對稱軸上有一動點P，當BP與CP之和最小時，P點坐標是多少？

(3)若y=x2與平移后的拋物線對稱軸交于D點，那么，在平移后的拋物線的對稱軸上，是否存在一點M，使得以M、O、D為頂點的三角形△BOD相似？若存在，求點M坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+2x﹣3；（2）點P坐標為（﹣1，﹣2）；（3）點M坐標為（﹣1，3）或（﹣1，2）．

【解析】

（1）設平移后拋物線的表達式為y=a（x+3）（x-1）．由題意可知平后拋物線的二次項系數與原拋物線的二次項系數相同，從而可求得a的值，于是可求得平移后拋物線的表達式；

（2）先根據平移后拋物線解析式求得其對稱軸，從而得出點C關于對稱軸的對稱點C′坐標，連接BC′，與對稱軸交點即為所求點P，再求得直線BC′解析式，聯立方程組求解可得；

（3）先求得點D的坐標，由點O、B、E、D的坐標可求得OB、OE、DE、BD的長，從而可得到△EDO為等腰三角直角三角形，從而可得到∠MDO=∠BOD=135°，故此當或時，以M、O、D為頂點的三角形與△BOD相似．由比例式可求得MD的長，于是可求得點M的坐標．

（1）設平移后拋物線的表達式為y=a（x+3）（x﹣1），

∵由平移的性質可知原拋物線與平移后拋物線的開口大小與方向都相同，

∴平移后拋物線的二次項系數與原拋物線的二次項系數相同，

∴平移后拋物線的二次項系數為1，即a=1，

∴平移后拋物線的表達式為y=（x+3）（x﹣1），

整理得：y=x2+2x﹣3；

（2）∵y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，

∴拋物線對稱軸為直線x=﹣1，與y軸的交點C（0，﹣3），

則點C關于直線x=﹣1的對稱點C′（﹣2，﹣3），

如圖1，

連接B，C′，與直線x=﹣1的交點即為所求點P，

由B（1，0），C′（﹣2，﹣3）可得直線BC′解析式為y=x﹣1，

則，

解得，

所以點P坐標為（﹣1，﹣2）；

（3）如圖2，

由得，即D（﹣1，1），

則DE=OD=1，

∴△DOE為等腰直角三角形，

∴∠DOE=∠ODE=45°，∠BOD=135°，OD=，

∵BO=1，

∴BD=，

∵∠BOD=135°，

∴點M只能在點D上方，

∵∠BOD=∠ODM=135°，

∴當或時，以M、O、D為頂點的三角形△BOD相似，

①若，則，解得DM=2，

此時點M坐標為（﹣1，3）；

②若，則，解得DM=1，

此時點M坐標為（﹣1，2）；

綜上，點M坐標為（﹣1，3）或（﹣1，2）．