Question

【題目】如圖，在△ABC中，D為AC上一點，且CD=CB,以BC為直徑作☉O,交BD于點E，連接CE,過D作DFAB于點F,∠BCD=2∠ABD.

（1）求證：AB是☉O的切線；

（2）若∠A=60°，DF=,求☉O的直徑BC的長。

Answer 1

【答案】（1）證明過程見解析；（2）4

【解析】

試題分析：（1）根據CB=CD得出∠CBD=∠CDB，然后結合∠BCD=2∠ABD得出∠ABD=∠BCE，從而得出∠CBD+∠ABD=∠CBD+∠BCE=90°，然后得出切線；（2）根據Rt△AFD和Rt△BFD的性質得出AF和DF的長度，然后根據△ADF和△ACB相似得出相似比，從而得出BC的長度.

試題解析：（1）∵CB=CD ∴∠CBD=∠CDB 又∵∠CEB=90° ∴∠CBD+∠BCE=∠CDE+∠DCE

∴∠BCE=∠DCE且∠BCD=2∠ABD ∴∠ABD=∠BCE ∴∠CBD+∠ABD=∠CBD+∠BCE=90°

∴CB⊥AB垂足為B 又∵CB為直徑 ∴AB是⊙O的切線.

（2）∵∠A=60°，DF= ∴在Rt△AFD中得出AF=1 在Rt△BFD中得出DF=3

∵∠ADF=∠ACB ∠A=∠A ∴△ADF∽△ACB ∴ 即 解得：CB=4