Question

【題目】解決下列兩個(gè)問題：

（1）如圖1，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5．EF垂直且平分BC．點(diǎn)P在直線EF上，直接寫出PA+PB的最小值，并在圖中標(biāo)出當(dāng)PA+PB取最小值時(shí)點(diǎn)P的位置；

解：PA+PB的最小值為　 　．

（2）如圖2．點(diǎn)M、N在∠BAC的內(nèi)部，請(qǐng)?jiān)凇?/span>BAC的內(nèi)部求作一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到∠BAC兩邊的距離相等，且使PM＝PN．（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，無需證明）

Answer 1

【答案】（1）4；（2）見解析

【解析】

（1）根據(jù)題意知點(diǎn)B關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C，故當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，AP+BP的最小值，求出AC長度即可得到結(jié)論．

（2）作∠AOB的平分線OE，作線段MN的垂直平分線GH，GH交OE于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求．

（1）點(diǎn)P的位置如圖所示：

∵EF垂直平分BC，∴B、C關(guān)于EF對(duì)稱，設(shè)AC交EF于D，∴當(dāng)P和D重合時(shí)，AP+BP的值最小，最小值等于AC的長，即最小值為4．

故答案為：4．

（2）如圖，①作∠AOB的平分線OE，②作線段MN的垂直平分線GH，GH交OE于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求．