Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，以AD為底邊作等腰△ADE，將△ADE沿DE折疊，點A落到點F處，連接EF剛好經過點C，再連接AF，分別交DE于點G，交CD于點H，下列結論：①△ABM≌△DCN；②∠DAF=30°；③△AEF是等腰直角三角形；④EC=CF；⑤，其中正確的有__________.

Answer 1

【答案】①③⑤

【解析】

①：由正方形ABCD的性質以及等腰△EAD的性質證明△ABM≌△DCN即可；②③：連接AC，以D為圓心，DA的長度為半徑畫圓，不難證明圓D過點A、E、F，由圓周角定理求出∠AFE的度數，進而求出∠FAE的度數及∠AEF的度數，從而證明出△AEF為等腰直角三角形，由折疊可得出∠AED的度數，由等腰△AED的性質求出∠DAE的度數即可求出∠DAF的度數；④：作CK⊥AF交AF于點K，不難求出∠KAC=∠CAE=22.5°，由角平分線的性質可得CK=CE，由直角三角形的性質可得CF＞KC，所以CF＞CE；⑤：求出∠FDC=∠ACD=45°，證明出DF∥AC，從而得出S△DAF=S△DCF，進而得出S△DAH=S△CFH.

∵正方形ABCD，

∴AB=CD，∠BAD=∠CDA=∠B=∠DCN=90°，

∵等腰△ADE，

∴∠EAD=∠EDA，

∴∠BAM=∠CDN，

∵在Rt△ABM與Rt△DCN中，

，

∴△ABM≌△DCN，

故結論①正確；

連接AC，以D為圓心，DA的長度為半徑畫圓，

由翻折可得AD=DF，AE=EF，

∴圓D經過點A、C、F，

∴∠AFC=45°，

∴∠AFC=∠EAF=45°，

∴∠AEF=90°，

∴∠AED=∠DEF=45°，

∴∠EAD=67.5°，

∴∠DAF=22.5°，

故結論②錯誤；

∵AE=EF，∠AEF=90°，

∴△AEF是等腰直角三角形，

故結論③正確；

作CK⊥AF交AF于點K，

∵∠EAD=62.5°，∠FAD=22.5°，

∴∠BAM=∠CDN=22.5°，∠KAC=22.5°，

∴∠EAC=22.5°，

∴∠EAC=∠KAC，

∴KC=CE，

∵在Rt△FKC中，FC＞KC，

∴FC＞CE，

故結論④錯誤；

∵∠DAF=∠DFA=22.5°，

∴∠ADF=135°，

∴∠FDC=45°，

∴∠FDC=∠DCA，

∴AC∥DF，

∴S△DAF=S△DCF，

∴S△DAH=S△CFH，

故結論⑤正確.

正確的結論有①③⑤.

故答案為①③⑤.