Question

【題目】（1）如圖，點C把線段AB分成兩條線段AC和BC，如果，那么稱線段AB被點C黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，AC與AB的比叫做黃金比.請計算黃金比。

（2）已知：如圖，已知△ABC∽△DEF，

求證：相似三角形面積的比等于相似比的平方

Answer 1

【答案】（1）.；（2）證明見解析.

【解析】

（1）設AC=a，BC=b，由題意列式，整理得出關于的一元二次方程，令=t，解關于t的一元二次方程即可；（2）作AG⊥BC交BC于點G，作DH⊥EF交EF于點H，設兩個三角形的相似比為k，由已知條件不難證明△ABG∽△DEH，從而得出AG與DH的比值，再根據三角形面積公式列式計算出△ABC與△DEF的面積之比即可.

（1）設AC=a，BC=b，

則=，整理可得a2﹣ab﹣b2=0，

∴2﹣﹣1=0，

令=t，t2﹣t﹣1=0，

解得t=（負值舍去），

∴t=，

∴黃金比為；

（2）證明：作AG⊥BC交BC于點G，作DH⊥EF交EF于點H，設兩個三角形的相似比為k，

∴∠AGB=∠DHE=90°，

∵△ABC∽△DEF，

∴==k，∠B=∠E，

∴△ABG∽△DEH，

∴==k，

∴==k2.