Question

【題目】直線與直線垂直相交于點，點在射線上運動（點不與點重合），點在射線上運動（點不與點重合）.

(1)如圖1，已知、分別是和的角平分線，

①當時，求的度數；

②點在運動的過程中，的大小是否會發生變化？若發生變化，請說明變化的情況；若不發生變化，試求出的大小；

(2)如圖2，延長至，已知、的角平分線與的角平分線所在的直線分別相交于、，在中，如果有一個角是另一個角的3倍，請直接寫出的度數.

Answer 1

【答案】（1）∠AEB的大小不會發生變化，∠AEB的度數是135°；（2）60°或45°．理由見解析．

【解析】

（1）①根據三角形內角和定理、角分線定義即可求得∠AEB的度數；

②與①同理，只是把具體度數轉化為角表示出來即可得結論；

（2）根據三角形內角和定理及一個外角等于與它不相鄰的兩個內角和，分四種情況討論即可．

（1）如圖1，①∵MN⊥PQ，∴∠AOB=90°．

∵∠ABO=60°，∴∠BAO=30°．

∵AE、BE分別是∠BAO和∠ABO的角平分線，∴∠ABE∠ABO=30°，∠BAE∠BAO=15°，∴∠AEB=180°﹣∠ABE﹣∠BAE=180°﹣30°－15°=135°．

答：∠AEB的度數是135°．

②∠AEB的大小不會發生變化．理由如下：

同①，得：∠AEB=180°﹣∠ABE﹣∠BAE=180°∠ABO∠BAO=180°（∠ABO+∠BAO）=180°90°=135°．

答：∠AEB的大小不會發生變化，∠AEB的度數是135°．

（2）∠ABO的度數為60°或45°．理由如下：

如圖2．

∵∠BAO、∠OAG的角平分線與∠BOQ的角平分線所在的直線分別相交于E、F，∴∠OAE+∠OAF（∠BAO+∠GAO）=90°，即∠EAF=90°．

∵AE、OE是角平分線，∴∠BAE=∠EAO，∠BOE=∠EOQ，∴∠ABO +∠BAO=∠BOQ=90°=2∠EOQ=2（∠E+∠EAO），∴∠ABO +2∠EAO=2∠E+2∠EAO，∴∠E=∠ABO．

∵∠FAE=90°，∴∠F+∠E=90°，∴∠F=90°－∠E=90°－∠ABO．

分四種情況討論：

①當∠FAE=3∠E時，∠E=90°÷3=30°，∠ABO =2∠E=60°；

②當∠FAE=3∠F時，∠F=90°÷3=30°，∴90°－∠ABO =30°，解得：∠ABO =120°＞90°，故舍去；

③當∠F=3∠E時，90°－∠ABO =3×∠ABO，解得：∠ABO =45°；

④當3∠F=∠E時，3×（90°－∠ABO）=∠ABO，解得：∠ABO =135°＞90°，故舍去．

綜上所述：∠ABO的度數是60°或45°．

故答案為：60°或45°．