Question

【題目】（1）如圖（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經過點A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點D、E．證明：DE＝BD+CE．

（2）如圖（2），將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α為任意銳角或鈍角．請問結論DE＝BD+CE是否成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．

（3）拓展與應用：如圖（3），D、E是D、A、E三點所在直線m上的兩動點（D、A、E三點互不重合），點F為∠BAC平分線上的一點，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，試判斷△DEF的形狀并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析. （2）見解析. （3）△DEF為等邊三角形．見解析.

【解析】

（1）根據BD⊥直線m，CE⊥直線m得∠BDA＝∠CEA＝90°，而∠BAC＝90°，根據等角的余角相等得∠CAE＝∠ABD，然后根據“AAS”可判斷△ADB≌△CEA，則AE＝BD，AD＝CE，于是DE＝AE+AD＝BD+CE；

（2）由∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝120°，就可以求出∠BAD＝∠ACE，進而由AAS就可以得出△BAD≌△ACE，就可以得出BD＝AE，DA＝CE，即可得出結論；

（3）由等邊三角形的性質，可以求出∠BAC＝120°，就可以得出△BAD≌△ACE，就有BD＝AE，進而得出△BDF≌△AEF，得出DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，而得出∠DFE＝60°，就有△DEF為等邊三角形．

（1）如圖1，

∵BD⊥直線m，CE⊥直線m，

∴∠BDA＝∠CEA＝90°，

∵∠BAC＝90°，

∴∠BAD+∠CAE＝90°

∵∠BAD+∠ABD＝90°，

∴∠CAE＝∠ABD，

在△ADB和△CEA中，

，

∴△ADB≌△CEA（AAS），

∴AE＝BD，AD＝CE，

∴DE＝AE+AD＝BD+CE；

（2）如圖2，

∵∠BDA＝∠BAC＝α，

∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，

∴∠DBA＝∠CAE，

在△ADB和△CEA中，

，

∴△ADB≌△CEA（AAS），

∴AE＝BD，AD＝CE，

∴DE＝AE+AD＝BD+CE；

（3）如圖3，

由（2）可知，△ADB≌△CEA，

∴BD＝AE，∠DBA＝∠CAE，

∵△ABF和△ACF均為等邊三角形，

∴∠ABF＝∠CAF＝60°，BF＝AF，

∴∠DBA+∠ABF＝∠CAE+∠CAF，

∴∠DBF＝∠FAE，

∵在△DBF和△EAF中，

，

∴△DBF≌△EAF（SAS），

∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，

∴∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠DFA+∠BFD＝60°，

∴△DEF為等邊三角形．