Question

【題目】對于平面直角坐標系上的點和，定義如下：若上存在兩個點，使得點在射線上，且，則稱為的依附點．

（1）當的半徑為1時

①已知點，，，在點中，的依附點是______；

②點在直線上，若為的依附點，求點的橫坐標的取值范圍；

（2）的圓心在軸上，半徑為1，直線與軸、軸分別交于點，若線段上的所有點都是的依附點，請求出圓心的橫坐標的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①D、E；②＜t＜或﹣＜t＜﹣；（2）＜＜﹣2或﹣1＜＜2

【解析】

（1）①如圖1中，根據P為⊙C的依附點，判斷出當r＜OP＜3r（r為⊙C的半徑）時，點P為⊙C的依附點，由此即可判斷．

②分兩種情形：點T在第一象限或點T在第三象限分別求解即可．

（2）分兩種情形：點C在點M的右側，點C在點M的左側分別求解即可解決問題．

解：（1）①如圖，

∵∠ADB＝∠AOB，∠APB＝∠AOB，

∴∠ADB＝2∠APB，

∴∠DAP＝∠APB，

∴AD＝DP，

當點A和點B重合時，OP＝3r

當點A與點D重合時，OP＝r，

∵0°＜∠ACB＜180°，

∴r＜OP＜3r

根據P為⊙C的依附點，可知：當r＜OP＜3r（r為⊙C的半徑）時，點P為⊙C的依附點．

如圖1中，∵D（﹣2.5，0），E（0，﹣2），F（1，0），

∴OD＝2.5，OE＝2，OF＝1，

∴1＜OD＜3，1＜OE＜3，

∴點D，E是⊙C的依附點，

故答案為：D、E；

②如圖2，

∵點T在直線y＝x上，

∴點T在第一象限或第三象限，直線y＝x與x軸所夾的銳角為45°，

當點T在第一象限，當OT＝1時，作CT⊥x軸，易求點C（，0），當OT'＝3時，作DT'⊥x軸，易求D（，0），

∴滿足條件的點T的橫坐標t的取值范圍＜t＜，

當點T在第三象限，同理可得滿足條件的點T的橫坐標t的取值范圍﹣＜t＜﹣，

綜上所述：滿足條件的點T的橫坐標t的取值范圍：＜t＜或﹣＜t＜﹣，

（3）如圖3﹣1中，當點C在點M的左側時，

由題意M（﹣1，0），N（0，2）

當CN＝3時，OC＝，此時C（，0），

當CM＝1時，此時C（﹣2，0），

∴滿足條件的的值的范圍為＜＜﹣2．

如圖3﹣2中，當點C在點M的右側時，

當⊙C與直線MN相切時，

由題意M（﹣1，0），N（0，2）

∴MN＝，

∴sin∠OMN＝，

∴C'M＝

∴C'O＝﹣1，

∴C′（﹣1，0），

當CM＝3時，C（2，0），

∴滿足條件的的取值范圍為﹣1＜＜2，

綜上所述，滿足條件的的取值范圍為：＜＜﹣2或﹣1＜＜2．