Question

【題目】如圖1，已知二次函數(為常數，)的圖象過點和點，函數圖象最低點的縱坐標為．直線的解析式為

求二次函數的解析式；

直線沿軸向右平移，得直線，與線段相交于點，與軸下方的拋物線相交于點，過點作軸于點，把沿直線折疊，當點恰好落在拋物線上點時(圖求直線的解析式；

在的條件下，與軸交于點，把繞點逆時針旋轉得到，P為上的動點，當為等腰三角形時，求符合條件的點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）滿足條件的點坐標為或或

【解析】

（1）先得出拋物線的頂點坐標，從而設出拋物線的頂點式，再將代入求解即可；

（2）設直線的解析式為，從而可得點B、的坐標，再根據翻轉的性質可得四邊形是矩形，然后根據對稱性得出點E、C的坐標，最后根據點C、的縱坐標相等列出等式求解即可；

（3）先根據直線的解析式得出點B、N的坐標，再根據旋轉的性質得出點、的坐標，然后根據等腰三角形的定義，分三種情況，分別根據兩點之間的距離公式求解即可．

（1）由題意得：拋物線的頂點坐標為，即

由此可設拋物線的解析式為

把代入得，解得

則拋物線的解析式為，即；

（2）設直線沿軸向右平移m個單位長度，則直線的解析式為，點B的坐標為

由題意得：，四邊形是矩形

點C與點均在拋物線上

點C與點關于拋物線的對稱軸對稱

點E與點B關于拋物線的對稱軸對稱

點B的坐標為

點E的坐標為，點的坐標為

點C的坐標為

則

解得或（不符題意，舍去）

故直線的解析式為；

（3）由（2）可知，直線的解析式為，點B的坐標為

令得，則點N的坐標為

是等腰直角三角形

把繞點逆時針旋轉得到

則點在直線上，點在直線上，且，

點的坐標為，點的坐標為

設

則

由等腰三角形的定義，分以下三種情況：

①當時，即

則

解得

此時點P的坐標為

②當時，即

則

解得

此時點P的坐標為或

③當時，即

則

整理得，此方程的根的判別式，則此方程沒有實數根

即此時沒有滿足條件的點P

綜上，滿足條件的點坐標為或或

．