Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，二次函數y=ax2﹣2ax+c的圖象經過點A（﹣1，1），將A點向右平移3個單位長度，再向上平移2個單位長度，得到點B，直線y=2x+m經過點B，與y軸交于點C．

（1）求點B，C的坐標；

（2）求二次函數圖象的對稱軸；

（3）若二次函數y=ax2﹣2ax+c（﹣1＜x＜2）的圖象與射線CB恰有一個公共點，結合函數圖象，直接寫出a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）B（2，3），C（0，﹣1）；（2）；（3）或

【解析】

（1）由平移的性質可求點B坐標，代入解析式可求m的值，從而可求得直線解析式，即可求點C坐標；

（2）根據二次函數的對稱軸為x=﹣，即可求解；

（3）結合圖形，分類討論，分a＞0時和a＜0時，即可求解．

解：（1）∵點A（﹣1，1）向右平移3個單位長度，再向上平移2個單位長度，得到點B，

∴點B（2，3），

∵直線y=2x+m經過點B，

∴3=4+m，

∴m=﹣1，

∴直線解析式為：y=2x﹣1，

∵直線y=2x+m與y軸交于點C，

∴點C（0，﹣1）；

（2）二次函數y=ax2﹣2ax+c的對稱軸為直線x=﹣=1；

（3）∵二次函數y=ax2﹣2ax+c的圖象經過點A（﹣1，1），

∴1=a+2a+c，

∴c=1﹣3a，

∴拋物線解析式為：y=ax2﹣2ax+1﹣3a，

∴頂點坐標為（1，1﹣4a），

當a＞0時，如圖所示，

∴當1﹣4a＜1時，二次函數y=ax2﹣2ax+c（﹣1＜x＜2）的圖象與射線CB恰有一個公共點，

∴a＞0；

當a＜0時，如圖所示，

∴4a﹣4a+1﹣3a＞3，

∴a＜﹣，

綜上所述：當a＞0或a＜﹣時，二次函數y=ax2﹣2ax+c（﹣1＜x＜2）的圖象與射線CB恰有一個公共點．