Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，點O在斜邊AB上，以O為圓心，OB為半徑作圓，分別與BC、AB相交于點D、E，連接AD，已知∠CAD＝∠B.

（1）求證：AD是⊙O的切線；

（2）若∠B＝30°，AC＝，求劣弧BD與弦BD所圍陰影圖形的面積；

（3）若AC＝4，BD＝6，求AE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）連接OD，由OD=OB，利用等邊對等角得到一對角相等，再由已知角相等，等量代換得到∠1=∠3，求出∠4為90°，即可證AD是⊙O的切線；

（2）連接OD，作OF⊥BD于F，由直角三角形的性質得出CD＝AC＝1，BC＝AC＝3， AC=3，得出BD=BC-CD=2，由直角三角形的性質得出DF＝BF＝BD＝1，OF＝BF＝，得出OB＝2OF＝，由扇形面積公式和三角形面積公式即可得出結果；（3）證明△ACD∽△BCA，得出，求出CD=2，由勾股定理得出AD＝，求出AB=4，在Rt△AOD中，AD2 +OD2 =OA2，設⊙O的半徑為x，則OA=4-x，解關于x的方程，BE=2x，求出BE后，根據AE=AB-BE，直接計算AE的長即可；

（1）證明：連接OD，如圖1所示：

∵OB＝OD，

∴∠3＝∠B，

∵∠B＝∠1，

∴∠1＝∠3，

在Rt△ACD中，∠1+∠2＝90°，

∴∠4＝180°﹣（∠2+∠3）＝90°，

∴OD⊥AD，

則AD為⊙O的切線；

（2）解：連接OD，作OF⊥BD于F，如圖2所示：

∵OB＝OD，∠B＝30°，∴∠ODB＝∠B＝30°，

∴∠DOB＝120°，

∵∠C＝90°，∠CAD＝∠B＝30°，

∴CD＝AC＝1，BC＝AC＝3，

∴BD＝BC﹣CD＝2，

∵OF⊥BD，

∴DF＝BF＝BD＝1，OF＝BF＝，

∴OB＝2OF＝，

∴劣弧BD與弦BD所圍陰影部分的面積＝扇形ODB的面積﹣△ODB的面積＝

（3）解：∵∠CAD＝∠B，∠C＝∠C，

∴△ACD∽△BCA，

∴，

∴AC2＝CD×BC＝CD（CD+BD），

即42＝CD（CD+6），

解得：CD＝2，或CD＝﹣8（舍去），

∴CD＝2，

∴AD＝，

∵，

∴，

∴AB＝4，

∵OD⊥AD，

∴在Rt△AOD中，AD2 +OD2 =OA2，

∴設⊙O的半徑為x，則OA=4-x，

∴(2) 2+x2=(4-x) 2，

∴，

∴AE=AB-BE=4-3=；