Question

【題目】已知拋物線y＝ax2+（3b+1）x+b﹣3（a＞0），若存在實數m，使得點P（m，m）在該拋物線上，我們稱點P（m，m）是這個拋物線上的一個“和諧點”．

（1）當a＝2，b＝1時，求該拋物線的“和諧點”；

（2）若對于任意實數b，拋物線上恒有兩個不同的“和諧點”A、B．

①求實數a的取值范圍；

②若點A，B關于直線y＝﹣x﹣（+1）對稱，求實數b的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（）或（﹣2，﹣2）；（2）①0＜a＜27②b的最小值是

【解析】

（1）把x=y=m，a=2，b=1代入函數解析式，列出方程，通過解方程求得m的值即可；

（2）拋物線上恒有兩個不同的“和諧點”A、B．則關于m的方程m=am2+（3b+1）m+b-3的根的判別式△=9b2-4ab+12a．

①令y=9b2-4ab+12a，對于任意實數b，均有y＞0，所以根據二次函數y=9b2-4ab+12的圖象性質解答；

②利用二次函數圖象的對稱性質解答即可．

（1）當a＝2，b＝1時，m＝2m2+4m+1﹣4，

解得m＝或m＝﹣2．

所以點P的坐標是（，）或（﹣2，﹣2）；

（2）m＝am2+（3b+1）m+b﹣3，

△＝9b2﹣4ab+12a．

①令y＝9b2﹣4ab+12a，對于任意實數b，均有y＞0，也就是說拋物線y＝9b2﹣4ab+12的圖象都在b軸（橫軸）上方．

∴△＝（﹣4a）2﹣4×9×12a＜0．

∴0＜a＜27．

②由“和諧點”定義可設A（x1，y1），B（x2，y2），

則x1，x2是ax2+（3b+1）x+b﹣3＝0的兩不等實根，．

∴線段AB的中點坐標是：（﹣，﹣）．代入對稱軸y＝x﹣（+1），得

﹣＝﹣（+1），

∴3b+1＝+a．

∵a＞0，＞0，a＝1為定值，

∴3b+1＝+a≥2＝2，

∴b≥．

∴b的最小值是．