Question

【題目】已知：如圖，在半徑是4的⊙O中，AB、CD是兩條直徑，M是OB的中點，CM的延長線交⊙O于點E，且EM＞MC，連接DE，DE=．

（1）求證：△AMC∽△EMB；

（2）求EM的長；

（3）求sin∠EOB的值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）EM=4；（3）sin∠EOB=．

【解析】

（1）連接A、C，E、B點，那么只需要求出△AMC和△EMB相似，即可求出結論，根據圓周角定理可推出它們的對應角相等，即可得△AMC∽△EMB；
（2）根據圓周角定理，結合勾股定理，可以推出EC的長度，根據已知條件推出AM、BM的長度，然后結合（1）的結論，很容易就可求出EM的長度；
（3）過點E作EF⊥AB，垂足為點F，通過作輔助線，解直角三角形，結合已知條件和（1）（2）所求的值，可推出Rt△EOF各邊的長度，根據銳角三角函數的定義，便可求得sin∠EOB的值．

（1）證明：連接AC、EB，如圖1，

∵∠A=∠BEC，∠B=∠ACM，

∴△AMC∽△EMB；

（2）解：∵DC是⊙O的直徑，

∴∠DEC=90°，

∴DE2+EC2=DC2，

∵DE=，CD=8，且EC為正數，

∴EC=7，

∵M為OB的中點，

∴BM=2，AM=6，

∵AMBM=EMCM=EM（EC﹣EM）=EM（7﹣EM）=12，且EM＞MC，

∴EM=4；

（3）解：過點E作EF⊥AB，垂足為點F，如圖2，

∵OE=4，EM=4，

∴OE=EM，

∴OF=FM=1，

∴EF==，

∴sin∠EOB==．