Question

【題目】如圖，點B、C、D都在⊙O上，過C點作CA∥BD交OD的延長線于點A，連接BC，∠B=∠A=30°，BD=2 ．

（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）求由線段AC、AD與弧CD所圍成的陰影部分的面積．（結果保留π）

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OC，交BD于E，

∵∠B=30°，∠B= ∠COD，

∴∠COD=60°，

∵∠A=30°，

∴∠OCA=90°，

即OC⊥AC，

∴AC是⊙O的切線；

（2）解：∵AC∥BD，∠OCA=90°，

∴∠OED=∠OCA=90°，

∴DE= BD= ，

∵sin∠COD= ，

∴OD=2，

在Rt△ACO中，tan∠COA= ，

∴AC=2 ，

∴S陰影= ×2×2 ﹣ =2 ﹣ ．

【解析】（1）連接OC，根據圓周角定理求出∠COA，根據三角形內角和定理求出∠OCA，根據切線的判定推出即可；（2）求出DE，解直角三角形求出OC，分別求出△ACO的面積和扇形COD的面積，即可得出答案．