Question

【題目】閱讀題.

材料一：若一個整數m能表示成a2-b2(a,b為整數)的形式，則稱這個數為“完美數”.例如，3=22-12，9=32-02，12=42-22，則3，9，12都是“完美數”；再如，M=x2+2xy=(x+y)2-y2,(x,y是整數),所以M也是”完美數”.

材料二：任何一個正整數n都可以進行這樣的分解：n＝p×q(p、q是正整數，且p≤q)．如果p×q在n的所有這種分解中兩因數之差的絕對值最小，我們就稱p×q是n的最佳分解，并且規定F(n)＝.例如18＝1×18＝2×9＝3×6，這三種分解中3和6的差的絕對值最小，所以就有F(18)＝.請解答下列問題：

(1)8______（填寫“是”或“不是”）一個完美數，F(8)= ______.

(2)如果m和n都是”完美數”，試說明mn也是完美數”.

(3)若一個兩位數n的十位數和個位數分別為x,y(1≤x≤9),n為“完美數”且x+y能夠被8整除，求F(n)的最大值.

Answer 1

【答案】(1)是，；（2）說明見解析； (3).

【解析】

（1）利用“完美數”的定義可得；

（2）根據完全平方公式，可證明mn是“完美數”；

（3）兩個一位數相加能被8整除,說明x+y=8或16, 這樣可得正整數n為79,97,88,71,17,26,62,35,53,44共10種, 根據n為“完美數”可把n=26和n=62舍去，再根據n的最佳分解確定出F(n)的最大值.

(1) ）∵8=32-12

∴8是完美數,

F(8)==

故答案為:是, .

（2）設m=, n=,其中a,b,c,d均為整數,

則mn= ()()

=

=

∵a，b，c，d均為整數

∴ac+bd與ad+bc也是整數，即mn是“完美數”.

(3) ∵兩個一位數相加能被8整除,

∴ x+y=8或16,

∴n=79或97或88或71或17或26或62或35或53或44,

∵n為“完美數”,

∴n=79或97或88或71或17或35或53或44,

其中F(79)=,F(97)= ,F(88)=, F(71)=, F(17)=, F(35)=, F(53)=, F(44)=,

∴F(n)的最大值為.