Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c交x軸于點A（﹣3，0）和點B，交y軸于點C（0，3）．

（1）求拋物線的函數表達式；
（2）若點P在拋物線上，且S△AOP=4SBOC ， 求點P的坐標；
（3）如圖b，設點Q是線段AC上的一動點，作DQ⊥x軸，交拋物線于點D，求線段DQ長度的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把A（﹣3，0），C（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，得

，

解得 ．

故該拋物線的解析式為：y=﹣x2﹣2x+3．

（2）

解：由（1）知，該拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3，則易得B（1，0）．

∵S△AOP=4S△BOC，

∴ ×3×|﹣x2﹣2x+3|=4× ×1×3．

整理，得（x+1）2=0或x2+2x﹣7=0，

解得x=﹣1或x=﹣1±2 ．

則符合條件的點P的坐標為：（﹣1，4）或（﹣1+2 ，﹣4）或（﹣1﹣2 ，﹣4）；

（3）

解：設直線AC的解析式為y=kx+t，將A（﹣3，0），C（0，3）代入，

得 ，

解得 ．

即直線AC的解析式為y=x+3．

設Q點坐標為（x，x+3），（﹣3≤x≤0），則D點坐標為（x，﹣x2﹣2x+3），

QD=（﹣x2﹣2x+3）﹣（x+3）=﹣x2﹣3x=﹣（x+ ）2+ ，

∴當x=﹣ 時，QD有最大值 ．

【解析】（1）把點A、C的坐標分別代入函數解析式，列出關于系數的方程組，通過解方程組求得系數的值；（2）設P點坐標為（x，﹣x2﹣2x+3），根據S△AOP=4S△BOC列出關于x的方程，解方程求出x的值，進而得到點P的坐標；（3）先運用待定系數法求出直線AC的解析式為y=x+3，再設Q點坐標為（x，x+3），則D點坐標為（x，x2+2x﹣3），然后用含x的代數式表示QD，根據二次函數的性質即可求出線段QD長度的最大值．