Question

【題目】已知，如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD垂直于經過點C的直線DE，垂足為點D，AC平分∠DAB．

（1）求證：直線DE是⊙O的切線；
（2）連接BC，猜想：∠ECB與∠CAB的數量關系，并證明你的猜想．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：連接OC，如圖1所示：

∵OA=OC，

∴∠BAC=∠ACO，

∵AC平分∠DAB，

∴∠DAC=∠BAC，

∴∠ACO=∠DAC，

∴AD∥OC，

∵AD⊥DE，

∴OC⊥DE，

∴直線DE是⊙O的切線；

（2）

解：如圖2所示：∠ECB=∠CAB，理由如下：

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠CAB+∠B=90°，

∵OC⊥DE，

∴∠ECB+∠BCO=90°，

∵OC=OB，

∴∠B=∠BCO，

∴∠ECB=∠CAB．

【解析】（1）連接OC，由等腰三角形的性質和已知條件得出∠ACO=∠DAC，證出AD∥OC，再由已知條件得出OC⊥DE，即可得出直線DE是⊙O的切線；（2）由圓周角定理得出∠ACB=90°，得出∠CAB+∠B=90°，得出∠ECB+∠BCO=90°，由等腰三角形的性質得出∠B=∠BCO，即可得出結論．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用切線的性質定理的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑．