Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，以AB為直徑的圓O經過點D，E是⊙O上一點，且∠AED=45°．

（1）判斷CD與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若⊙O半徑為6cm，AE=10cm，求∠ADE的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：CD與⊙O相切．

理由：連接OD，

∵∠AED=45°，

∴∠AOD=2∠AED=90°，

即OD⊥AB，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，

∴OD⊥CD，

∵AB為直徑的圓O經過點D，

∴CD與⊙O相切；

（2）解：過點O作OF⊥AE，連接OE，

則AF= AE= ×10=5（cm），

∵OA=OE，

∴∠AOF= ∠AOE，

∵∠ADE= ∠AOE，

∴∠ADE=∠AOF，

在Rt△AOF中，sin∠AOF= = ，

∴sin∠ADE= ．

【解析】（1）首先連接OD，由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半，即可證得OD⊥AB，又由四邊形ABCD是平行四邊形，即可證得OD⊥CD，即可證得CD與⊙O相切；（2）首先過點O作OF⊥AE，連接OE，由垂徑定理可得AF=5cm，∠AOF= ∠AOE，又由圓周角定理可得∠ADE= ∠AOE，繼而證得∠AOF=∠ADE，然后在Rt△AOF中，求得sin∠AOF的值，即可求得答案．
【考點精析】本題主要考查了平行四邊形的性質和切線的判定定理的相關知識點，需要掌握平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分；切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線才能正確解答此題．