Question

【題目】如圖①，直線分別與軸、軸交于點，，拋物線經過，兩點，且與軸的另一交點為．

（1）求拋物線的函數解析式；

（2）如圖①，點在第三象限內的拋物線上．

①連接，，，當四邊形的面積最大時，求點的坐標；

②為軸上一點，當取得最小值時，求點的坐標；

（3）如圖②，為軸下方拋物線上任意一點，是拋物線的對稱軸與軸的交點，直線，分別交拋物線的對稱軸于點，．問：是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+2x-3；（2）①，②；（3）DM+DN是定值，定值為8．

【解析】

（1）由直線表達式求出點B、C的坐標，將A、B、C坐標代入拋物線表達式，即可求解；

（2）①S四邊形ABPC=S△BPC+S△ABC=PFOB+ABOC= (-t2-3t)+6=(t+)2+，即可求解；②當GJ=AG時，PG+AG取得最小值，即可求解；

（3）利用，，得，，即，，即可求解．

解：（1）在y=-x-3中，令x=0，得y=-3；令y=0，得x=-3，

∴B(-3，0)，C(0，-3)．

設拋物線的函數解析式為y=a(x+3)(x-1)，

將點C(0，-3)代入，得a=1，

∴拋物線的函數解析式為y=x2+2x-3；

（2）①如圖①，過點P作PE⊥x軸于點E，交BC于點F，設點P的坐標為(t，t2+2t-3)，則點F的坐標為(t，-t-3)，

∴PF=-t-3-(t2+2t-3)=-t2-3t，

∴S四邊形ABPC=S△BPC+S△ABC=PF·OB+AB·OC=(-t2-3t)+6=．

∵<0，

∴當t=時，S四邊形ABPC取得最大值，

∴此時點P的坐標為；

②如圖②，作點P關于x軸的對稱點，交x軸于點I，連接AP，，過點P作PJ⊥于點J，交x軸于點G．當GJ=AG時，PG+AG取得最小值，此時sin∠GAJ=，

∴tan∠GAJ=．

設點P的坐標為（t，t2+2t-3），則PI=-t2-2t+3，AI=-t+1，

由對稱的性質，得∠PAI=∠GAJ，

∴tan∠PAI=，即，

解得t1=，t2=1（舍去），

∴此時點P的坐標為；

（3）DM+DN是定值．

解法一：如圖③，過點Q作QH⊥x軸于點H．

∵ND⊥x軸，

∴QH∥ND，

∴，，

∴，．

設點Q的坐標為(k，k2+2k-3)，則HQ=-k2-2k+3，BH=3+k，AH=1-k．

∵D是拋物線的對稱軸與x軸的交點，

∴AD=BD=2，

∴，，

∴DN=2-2k，DM=2k+6，

∴DM+DN=2k+6+2-2k=8，

∴DM+DN是定值，該定值為8．

解法二：∵拋物線y=x2+2x-3的對稱軸為x=-1，

∴D（-1，0），則xM=xN=-1．

設點Q的坐標為(k，k2+2k-3)，

設直線AQ的解析式為y=dx+e，則，解得，

∴直線AQ的解析式為y=(k+3)x-k-3，

當x=-1時，y=-2k-6，

∴DM=2k+6．

設直線BQ的解析式為y=mx+n，則，解得，

∴直線BQ的解析式為y=(k-1)x+3k-3，

當x=-1時，y=2k-2，

∴DN=-2k+2，

∴DM+DN=2k+6+(-2k+2)=8，

∴DM+DN是定值，該定值為8．