Question

【題目】如圖，AC為⊙O的直徑，AC=4，B、D分別在AC兩側的圓上，∠BAD=60°，BD與AC的交點為E．

（1）求點O到BD的距離及∠OBD的度數；

（2）若DE=2BE，求的值和CD的長．

Answer 1

【答案】（1）O到BD的距離為1；；（2）；

【解析】

試題（1）作OF⊥BD于點F，連接OD，根據圓周角定理可得出∠DOB=120°，再由OB=OD=AC=2，可得出∠OBD的度數，也可得出OF的長度；

（2）設BE=2x，則可表示出DF、EF的長度，從而可解出x的值，在RT△OEF中，利用三角函數值的知識可求出∠OED的度數，也可得出cos∠OED的值，判斷出DO⊥AC，然后利用等腰直角三角形的性質可得出CD的長度．

（1）作OF⊥BD于點F，連接OD，

∵∠BAD=60°，

∴∠BOD=2∠BAD=120°，

又∵OB=OD，

∴∠OBD=30°，

∵AC為⊙O的直徑，AC=4，

∴OB=OD=2．

在Rt△BOF中，∵∠OFB=90°，OB=2，∠OBF=30°，

∴OF=OBsin∠OBF=2sin30°=1，

即點O到BD的距離等于1；

（2）∵OB=OD，OF⊥BD于點F，

∴BF=DF．

由DE=2BE，設BE=2x，則DE=4x，BD=6x，EF=x，BF=3x．

∵BF=OBcos30°

∴，

在Rt△OEF中，∠OFE=90°，∵tan∠OED=

∴∠OED=60°，cos∠OED=，

∴∠BOE=∠OED-∠OBD=30°，

∴∠DOC=∠DOB-∠BOE=90°，

∴∠C=45°

∴.