Question

【題目】如圖，已知點A的坐標是（﹣1，0），點B的坐標是（9，0），以AB為直徑作⊙O′，交y軸的負半軸于點C，連接AC、BC，過A、B、C三點作拋物線．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點E是AC延長線上一點，∠BCE的平分線CD交⊙O′于點D，連結BD，求直線BD的解析式；

（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在點P，使得∠PDB=∠CBD？如果存在，請求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣x﹣3．（2）y=x﹣9．（3）存在，P1（，），P2（14，25）．

【解析】

試題分析：（1）已知了A、B兩點的坐標即可得出OA、OB的長，在直角三角形ACB中由于OC⊥AB，因此可用射影定理求出OC的長，即可得出C點的坐標．然后用待定系數法即可求出拋物線的解析式；（2）本題的關鍵是得出D點的坐標，CD平分∠BCE，如果連接O′D，那么根據圓周角定理即可得出∠DO′B=2∠BCD=∠BCE=90°，由此可得出D的坐標為（4，﹣5）．根據B、D兩點的坐標即可用待定系數法求出直線BD的解析式；（3）本題要分兩種情況進行討論：①過D作DP∥BC，交D點右側的拋物線于P，此時∠PDB=∠CBD，可先用待定系數法求出直線BC的解析式，然后根據BC與DP平行，那么直線DP的斜率與直線BC的斜率相同，因此可根據D的坐標求出DP的解析式，然后聯立直線DP的解析式和拋物線的解析式即可求出交點坐標，然后將不合題意的舍去，即可得出符合條件的P點．②同①的思路類似，先作與∠CBD相等的角：在O′B上取一點N，使BN=BM．可通過證△NBD≌△MDB，得出∠NDB=∠CBD，然后同①的方法一樣，先求直線DN的解析式，進而可求出其與拋物線的交點即P點的坐標．綜上所述可求出符合條件的P點的值．

試題解析：（1）∵以AB為直徑作⊙O′，交y軸的負半軸于點C，∴∠OCA+∠OCB=90°，又∵∠OCB+∠OBC=90°，∴∠OCA=∠OBC，又∵∠AOC=∠COB=90°，∴△AOC∽△COB，∴．又∵A（﹣1，0），B（9，0），∴，解得OC=3（負值舍去）．∴C（0，﹣3），故設拋物線解析式為y=a（x+1）（x﹣9），∴﹣3=a（0+1）（0﹣9），解得a=，∴二次函數的解析式為y=（x+1）（x﹣9），即y=x2﹣x﹣3．（2）∵AB為O′的直徑，且A（﹣1，0），B（9，0），∴OO′=4，O′（4，0），∵點E是AC延長線上一點，∠BCE的平分線CD交⊙O′于點D，∴∠BCD=∠BCE=×90°=45°，連接O′D交BC于點M，則∠BO′D=2∠BCD=2×45°=90°，OO′=4，O′D=AB=5．∴O′D⊥x軸，∴D（4，﹣5）．∴設直線BD的解析式為y=kx+b，∴，解得，∴直線BD的解析式為y=x﹣9．（3）∵C（0，﹣3），設在拋物線上存在點P，使得∠PDB=∠CBD，設射線DP交⊙O′于點Q，則 弧BQ=弧CD．分兩種情況（如圖所示）：①∵O′（4，0），D（4，﹣5），B（9，0），C（0，﹣3）．∴把點C、D繞點O′逆時針旋轉90°，使點D與點B重合，則點C與點Q1重合，因此，點Q1（7，﹣4）符合 弧BQ=弧CD，∵D（4，﹣5），Q1（7，﹣4），∴用待定系數法可求出直線DQ1解析式為y=x﹣．解方程組，得或，∴點P1坐標為（，），坐標為（，）不符合題意，舍去．②∵Q1（7，﹣4），∴點Q1關于x軸對稱的點的坐標為Q2（7，4）也符合 弧BQ=弧CD，∵D（4，﹣5），Q2（7，4）．∴用待定系數法可求出直線DQ2解析式為y=3x﹣17．解方程組得或，∴點P2坐標為（14，25），坐標為（3，﹣8）不符合題意，舍去．∴符合條件的點P有兩個：P1（，），P2（14，25）．