Question

【題目】探索n×n的正方形釘子板上(n是釘子板每邊上的釘子數,每邊上相鄰釘子間的距離為1),連接任意兩個釘子所得到的不同長度值的線段種數:

當n=2時,釘子板上所連不同線段的長度值只有1與，所以不同長度值的線段只有2種,若用S表示不同長度值的線段種數,則S=2;

當n=3時,釘子板上所連不同線段的長度值只有1, ，2, ，2五種,比n=2時增加了3種,即S=2+3=5.

(1)觀察圖形,填寫下表:

釘子數(n×n)	S值
2×2	2
3×3	2+3
4×4	2+3+（____）
5×5	（________）

(2)寫出(n-1)×(n-1)和n×n的兩個釘子板上,不同長度值的線段種數之間的關系;(用式子或語言表述均可).

(3)對n×n的釘子板,寫出用n表示S的代數式.

Answer 1

【答案】 4 2+3+4+5(或14)

【解析】試題分析：（1）釘子數為2×2時，共有不同的線段2條；
釘子數為3×3時，共有不同的線段2+3條；
釘子數為4×4時，共有不同的線段2+3+4條；
那么釘子數為5×5時，共有不同的線段2+3+4+5條．
（2）釘子數為（n-1）×（n-1）時，共有不同的線段2+3+4+5+…+（n-1）條；釘子數為n×n時，共有不同的線段2+3+4+5+…+（n-1）+n條相減后發現不同長度的線段種數增加了n種．
（3）釘子數為n×n時，共有不同的線段應從2開始加，加到n．

試題解析：(1)4　2+3+4+5(或14)

(2)①n×n的釘子板比(n-1)×(n-1)的釘子板中不同長度的線段種數增加了n種或②分別用a,b表示n×n與(n-1)×(n-1)的釘子板中不同長度的線段種數,則a=b+n.

(3)S=2+3+4+…+n=×(n-1)= .