Question

【題目】已知，，D為直線BC上一點，E為直線AC上一點，，設，．

（1）如圖1，若點D在線段C上，點E在線段AC上，，，則______；________．

（2）如圖2，若點D在線段BC上，點E在線段AC上，則，之間有什么關系式？它說明理由．

（3）是否存在不同于（2）中的，之間的關系式？請寫出這個關系式（寫出一種即可），說明理由：若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）20，10；（2）α=2β，理由見解析；（3）α=2β-180°或α=180°-2β，理由見解析

【解析】

（1）先利用等腰三角形的性質求出∠DAE，進而求出∠BAD，利用外角的性質求出∠ADC，進而可求出β的值；

（2）設∠ABC=x，∠AED=y，由三角形外角的性質可得y=β+x，α+x=y+β，整理可得，之間的關系；

（3）①當點E在CA的延長線上，設∠ABC=x，∠ADE=y，由三角形外角的性質得x+α=β-y，由三角形內角和得x+y+β=180°，整理即可得出結論；

②當點E在CA的延長線上，點D在CB的延長線上，同①的方法即可得出結論．

解：（1）∵AB=AC，∠ABC=60°，

∴∠BAC=60°，

∵AD=AE，∠ADE=70°，

∴∠DAE=180°-2∠ADE=40°，

∴α=∠BAD=60°-40°=20°，

∴∠ADC=∠BAD+∠ABD=60°+20°=80°，

∴β=∠CDE=∠ADC-∠ADE=10°，

故答案為：20，10；

（2）α=2β，

設∠ABC=x，∠AED=y，

∴∠ACB=x，∠AED=y，

在△DEC中，y=β+x，

在△ABD中，α+x=y+β=β+x+β，

∴α=2β；

（3）①當點E在CA的延長線上，點D在線段BC上，

如圖1

設∠ABC=x，∠ADE=y，

∴∠ACB=x，∠AED=y，

在△ABD中，x+α=β-y，

在△DEC中，x+y+β=180°，

∴α=2β-180°，

②當點E在CA的延長線上，點D在CB的延長線上，

如圖2，

設∠ABC=x，∠ADE=y，

∴∠ACB=x，∠AED=y，

在△ABD中，x=α+β-y，

在△DEC中，x+y+β=180°，

∴α=180°-2β．

綜上可知，不同于（2）的結論有：α=2β-180°或α=180°-2β．