Question

【題目】已知如圖1，圓柱體鉛筆插入卷筆刀充分卷削，得到底面直徑BC為2的圓錐，∠BAC＝30°．底面邊長為1的正六棱柱鉛筆插入卷削，得到如圖2所示鉛筆和鋸齒狀木屑（木屑厚度忽略不計），木屑鋸齒齒鋒點G相鄰凹陷最低點為H，則AG＝________，GH＝________．

Answer 1

【答案】

【解析】

抽象圖形，利用等腰三角形的性質和三角形外角的性質，可證得∠GEO＝30°，再結合已知條件求出OG，EG的長，利用解直角三角形求出EO的長，從而可求出OA的長，然后利用勾股定理求出AG的長；底面邊長為1的正六棱柱鉛筆插入卷削，如圖，可得到△OGK是等邊三角形，利用解直角三角形求出OM，MN的長，再利用平行線分線段成比例定理可求出MH的長，然后證明△HMG是等腰直角三角形，繼而可求出HG的長.

解：如圖，

∵∠BAC＝30°，

∴∠GAO＝15°，

∵AE＝EG，

∴∠GAO＝∠AGE＝15°

∴∠GEO＝∠AGE＋∠GAO＝30°,

∵圓錐的底面直徑為2,

∴OG＝1，

在Rt△AOG中，EG＝2OG＝2，

∴EO＝EGcos∠GEO＝2×cos30°＝,

∴OA＝AE＋OE＝2＋,

∴；

∵底面邊長為1的正六棱柱鉛筆插入卷削，如圖，

∴△OGK是邊長為1的等邊三角形，

∴OM＝OGsin60°＝，

∴MN＝1－，

如圖，

∵MH∥AO，

∴，

∴，

解之：MH＝，

∵GK=1，HG=HK，HM⊥GK，

∴△HKG是等腰直角三角形，

∴△HMG是等腰直角三角形，

∴即，

解之：HG＝.

故答案為：；.

此題考查正多邊形和圓，勾股定理，等邊三角形的判定及性質，等腰直角三角形的性質，平行線分線段成比例，解直角三角形，正確理解題中各部分之間的關系，根據題意畫出對應的圖形輔助解題是關鍵，體現數形結合是思想.