Question

【題目】問題背景：如圖，點為線段外一動點，且，若，，連接，求的最大值．解決方法：以為邊作等邊，連接，推出，當點在的延長線上時，線段取得最大值．

問題解決：如圖，點為線段外一動點，且，若，，連接，當取得最大值時，的度數為_________．

Answer 1

【答案】

【解析】

以AC為直角邊，作等腰直角三角形CEA，CE =CA，∠ECA=90°，連接EB，利用SAS證出△ECB≌△ACD，從而得出EB=AD，然后根據兩點之間線段最短即可得出當AD取得最大值時，E、A、B三點共線，然后求出∠CAB的度數，根據等邊對等角和三角形的內角和定理即可求出∠ACB，從而求出∠ACD．

解：以AC為直角邊，作等腰直角三角形CEA，CE =CA，∠ECA=90°，連接EB

∵

∴∠ECA＋∠ACB=∠BCD＋∠ACB

∴∠ECB=∠ACD

在△ECB和△ACD中

∴△ECB≌△ACD

∴EB=AD

∴當AD取得最大值時，EB也取得最大值

根據兩點之間線段最短可知EB≤EA＋EB，當且僅當E、A、B三點共線時取等號

即當AD取得最大值時，E、A、B三點共線，

∵△CEA為等腰直角三角形

∴∠CAE=45°

∴此時∠CAB=180°―CAE=135°

∵

∴∠ACB=∠ABC=（180°－∠CAB）=°

∴∠ACD=∠ACB＋∠BCD=

故答案為：．