Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，的斜邊在軸上，邊與軸交于點，平分交邊于點，經過點的圓的圓心恰好在軸上，⊙與里面相交于另一點．

（1）求證：是⊙的切線 ；

（2）若點的坐標分別為，求⊙的半徑及線段的長；

（3）試探究線段三者之間滿足的等量關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2），；（3），理由詳見解析．

【解析】

（1）連接EF，根據角平分線的定義、等腰三角形的性質得到∠FEA=∠EAC，得到FE∥AC，根據平行線的性質得到∠FEB=∠C=90°，證明結論；

（2）連接FD，設⊙F的半徑為r，根據勾股定理列出方程，解方程即可求出半徑的長，證∽，求出BF的長，再證∽，即可求出AC的長；

（3）過點作于點，得到四邊形RCEF是矩形，得到EF=RC=RD+CD，根據垂徑定理解答即可．

（1）如圖，連接，

∵平分，

，

，

，

，

，

，

又為⊙上一點，

是⊙的切線；

（2）如圖，連接，

設⊙的半徑為，

∵點的坐標分別為，

，

，

在中，由勾股定理得，，

，

解得，

即⊙的半徑為，

，

，

，

∴∽，

，即，

，

，

，

∴∽，

，即，

（3）．理由如下：

如圖，過點作于點，則∠FRC=90°，

∵∠FEC=∠C=90°，

∴四邊形為矩形，

，

，

，

，

．