Question

【題目】如圖①，△ABC是等腰直角三角形，在兩腰AB、AC外側(cè)作兩個等邊三角形ABD和ACE，AM和AN分別是等邊三角形ABD和ACE的角平分線，連接CM、BN，CM與AB交于點P．

（1）求證：CM＝BN；

（2）如圖②，點F為角平分線AN上一點，且∠CPF＝30°，求證：△APF∽△AMC；

（3）在（2）的條件下，求的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析（3）

【解析】

（1）根據(jù)△ABC是等腰直角三角形，AM和AN分別是等邊三角形ABD和ACE的角平分線，即可得到AB＝AC，∠BAC＝90°，∠BAM＝∠CAN＝30°，AM＝AN，進而得出△BAN≌△CAM，進而得到CM＝BN；

（2）依據(jù)∠APF＝∠AMC，∠MAC＝∠PAF＝120°，即可判定△APF∽△AMC；

（3）連接CF，依據(jù)A，F，C，P四點共圓，可得∠AFP＋∠CFN＝90°，根據(jù)∠CFN＋∠FCN＝90°，可得∠FCN＝∠AFP＝∠ACM．再根據(jù)∠FNC＝∠PAC＝90°，可得△PAC∽△FNC，進而得出＝2①；根據(jù)△APF∽△AMC，可得②，聯(lián)立①②可得，進而得到．

（1）∵△ABC是等腰直角三角形，AM和AN分別是等邊三角形ABD和ACE的角平分線，

∴AB＝AC，∠BAC＝90°，∠BAM＝∠CAN＝30°，AM＝AN，

∴∠BAN＝∠CAM＝120°，

∴△BAN≌△CAM，

∴CM＝BN；

（2）∵∠APF＝∠APC∠CPF＝∠APC30°，∠AMC＝∠APC∠MAB＝∠APC30°，

∴∠APF＝∠AMC，

又∵∠MAC＝∠PAF＝120°，

∴△APF∽△AMC；

（3）如圖②，連接CF，

∵△APF∽△AMC，

∴∠AFP＝∠ACM，

∴A，F，C，P四點共圓，

∴∠PFC＝∠PAC＝90°，

∴∠AFP＋∠CFN＝90°，

∵∠CFN＋∠FCN＝90°，

∴∠FCN＝∠AFP＝∠ACM．

又∵∠FNC＝∠PAC＝90°．

∴△PAC∽△FNC，

∴＝=2①；

∵△APF∽△AMC，

∴②，

由①可得，FN＝AP；由②可得，AF＝AP，

∴．

∵△APF∽△AMC，

∴，AM＝AN，

∴．