Question

【題目】已知關于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）=0．

（1）判斷這個一元二次方程的根的情況；

（2）若等腰三角形的一邊長為3，另兩條邊的長恰好是這個方程的兩個根，求這個等腰三角形的周長及面積．

Answer 1

【答案】（1）該方程有兩個實數根；

（2）等腰三角形的周長為7或8，面積為或2．

【解析】分析：（1）根據方程的系數結合根的判別式，可得出△=（2k-3）2≥0，由此即可得出該方程有兩個實數根；

（2）分3為底邊長及腰長兩種情況考慮：①當3為底邊長是，由△=0可求出k值，將其代入原方程可求出三角形的腰長，再根據周長及面積公式可求出等腰三角形的周長及面積；②當3為腰長時，將x=3代入原方程可求出k值，代入k值可求出等腰三角形的底邊長度，再根據周長及面積公式可求出等腰三角形的周長及面積．綜上即可得出結論．

詳解：（1）∵△=[-（2k+1）]2-4×4（k-）=4k2-12k+9=（2k-3）2≥0，

∴該方程有兩個實數根；

（2）①當3為底邊長時，△=（2k-3）2=0，

∴k=，

此時原方程為x2-4x+4=0，

解得：x1=x2=2．

∵2、2、3能組成三角形，

∴三角形的周長為2+2+3=7，三角形的面積為×3×

=；

②當3為腰長時，將x=3代入原方程，得：9-3×（2k+1）+4（k-）=0，

解得：k=2，

此時原方程為x2-5x+6=0，

解得：x1=2，x2=3．

∵2、3、3能組成三角形，

∴三角形的周長為2+3+3=8，三角形的面積為×2×．

綜上所述：等腰三角形的周長為7或8，面積為或．