Question

【題目】已知拋物線C1：y＝ax2+bx+c向左平移1個單位長度，再向上平移4個單位長度得到拋物線C2：y＝x2．

（1）直接寫出拋物線C1的解析式　 　；

（2）如圖1，已知拋物線C1與x軸交于A，B兩點，點A在點B的左側，點P（，t）在拋物線C1上，QB⊥PB交拋物線于點Q．求點Q的坐標；

（3）已知點E，M在拋物線C2上，EM∥x軸，點E在點M的左側，過點M的直線MD與拋物線C2只有一個公共點（MD與y軸不平行），直線DE與拋物線交于另一點N．若線段NE＝DE，設點M，N的橫坐標分別為m，n，直接寫出m和n的數量關系（用含m的式子表示n）為　 　．

Answer 1

【答案】（1）y＝（x﹣1）2﹣4；（2）Q（﹣，）；（3）n＝（1±2）m

【解析】

（1）逆向考慮，拋物線C2平移到拋物線C1，即可求拋物線C1的解析式；

（2）求出A、B、P的點的坐標，設Q（t，t2-2t-3），過點P作PM⊥x軸交于點M，過點Q作QN⊥x軸交于點N，可以證明△BNQ∽△QMP，由相似可得=，求出t即可；

（3）求出M、N、E點坐標，設MD的解析式為y=kx+b，將點M代入解析式可得y=kx+m2-km，再由直線MD與拋物線y=x2只有一個交點，聯立方程kx+m2-km=x2，由判別式△=0可得k=2m，則直線MD為y=2mx-m2，在求出D點坐標代入MD的解析式即可求解．

（1）由已知可知，拋物線C2：y＝x2向右平移1個單位長度，再向下平移4個單位長度得到拋物線C1：y＝ax2+bx+c，

∴拋物線C1：y＝（x﹣1）2﹣4，

故答案為y＝（x﹣1）2﹣4；

（2）∵y＝（x﹣1）2﹣4，

令y＝0，（x﹣1）2﹣4＝0，

解得x＝3或x＝﹣1，

∴A（﹣1，0），B（3，0），

∵點P（，t）在拋物線C1上，

∴t＝（﹣1）2﹣4，解得t＝﹣，

∴P（，﹣），

設Q（t，t2﹣2t﹣3），

過點P作PM⊥x軸交于點M，過點Q作QN⊥x軸交于點N，

∵BQ⊥BP，

∴∠QBN+∠MBP＝∠QBN+∠MQN＝90°，

∴∠BQN＝∠PBM，

∴△BNQ∽△QMP，

∴＝，

∴＝，

∴t＝﹣或t＝3，

∵Q點在第二象限，

∴t＝﹣，

∴Q（﹣，）；

（3）∵點M與N在y＝x2上，

∴M（m，m2），N（n，n2）

∵EM∥x軸，

∴E（﹣m，m2），

設MD的解析式為y＝kx+b，

∴m2＝km+b，

∴b＝m2﹣km，

∴y＝kx+m2﹣km，

∵直線MD與拋物線y＝x2只有一個交點，

∴kx+m2﹣km＝x2，

∴△＝k2﹣4（m2+km）＝0，

∴k＝2m，

∴直線MD的解析式為y＝2mx﹣m2，

∵NE＝DE，

∴D（﹣2m﹣n，2m2﹣n2），

∴2m2﹣n2＝2m（﹣2m﹣n）﹣m2，

整理得，n2﹣2mn﹣7m2＝0，

∴n＝（1±2）m，

故答案為n＝（1±2）m．