Question

【題目】如圖，點A是⊙O直徑BD延長線上的一點，AC是⊙O的切線，C為切點.AD＝CD，

(1)求證：AC＝BC；

(2)若⊙O的半徑為1，求△ABC的面積.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)S△ABC＝.

【解析】

(1)連接OC，證得∠1＝∠2，可得∠A＝∠B，則結論得證；

(2)易證∠A＝∠B＝∠1＝∠2＝30°，即可求得AC的長，作CE⊥AB于點E，求得CE的長，利用三角形面積公式求解.

(1)證明：連接OC，

∵AC為切線，C為切點，

∴∠ACO＝90°，

即∠DCO+∠2＝90°，

又∵BD是直徑，

∴∠BCD＝90°，

即∠DCO+∠1＝90°，

∴∠1＝∠2，

∵AD＝CD，OB＝OC，

∴∠A＝∠2，∠B＝∠1，

∴∠A＝∠B，

∴AC＝BC；

(2)解：由題意可得△DCO是等腰三角形，

∵∠CDO＝∠A+∠2，∠DOC＝∠B+∠1，

∴∠CDO＝∠DOC，即△DCO是等邊三角形，

∴∠A＝∠B＝∠1＝∠2＝30°，CD＝AD＝1，

∴BC＝＝＝，

在Rt△BCD中，作CE⊥AB于點E，

在Rt△BEC中，∠B＝30°，

∴CE＝，BE＝，

∴S△ABC＝＝.