Question

【題目】在平面直角坐標系中，如果等邊三角形的一邊與軸平行或在軸上，則稱這個等邊三角形為水平正三角形．

（1）已知，，若是水平正三角形，則點坐標的是_____（只填序號）；①，②，③，④

（2）已知點，，，以這三個點中的兩個點及平面內的另一個點為頂點，構成一個水平正三角形，則這兩個點是　 ，并求出此時點的坐標；

（3）已知的半徑為，點是上一點，點是直線上一點，若某個水平正三角形的兩個頂點為，，直接寫出點的橫坐標的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）點坐標的是②，④；（2）或；（3）點的橫坐標的取值范圍為或或．

【解析】

（1）利用勾股定理求出的長，即可知道的坐標；

（2）因為是一個水平正三角形，則這兩個點是，，連接，所以與軸正方向夾角為，然后分①當點在線段的左側時和②當點在線段的右側時兩種情況討論；

（3）分三種情況：①當與軸平行或重合時；②當與軸的負半軸夾角為時；③當與軸的正半軸夾角為時；根據水平正三角形的性質求出點的橫坐標的取值范圍即可．

（1）∵，，

∴，，

∴，

當點在軸上方時，，

當點在軸下方時，，

則點坐標的是②，④；

（2）因為是一個水平正三角形，則這兩個點是，，連接，如圖1所示：

∴與軸正方向夾角為．

①當點在線段的左側時，

點與點關于軸對稱，

∴，

②當點在線段的右側時，

點在軸上且，

∴．

∴或；

（3）分三種情況：

①當與軸平行或重合時，如圖2所示：

為的直徑，直線與坐標軸的交點分別為、，

則，，，

作軸交直線于，作軸交直線于，

則在線段上，，

∴，

同理：，

∴；

②當與軸的負半軸夾角為時，如圖3所示：

作直線于，作直徑，作、，分別交于、，

作于，作于，

則在線段上，，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴；

同理：，

∴；

③當與軸的正半軸夾角為時，如圖4所示：

同②得：．

綜上所述，點的橫坐標的取值范圍為或或．