Question

【題目】已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是線段AB上一點，連結CD，將線段CD繞點C逆時針旋轉90°得到線段CE，連結DE，BE．

（1）依題意補全圖形；

（2）若∠ACD=α，用含α的代數式表示∠DEB；

（3）若△ACD的外心在三角形的內部，請直接寫出α的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）作圖見解析；（2）90°﹣α；（3）45°＜α＜90°．

【解析】

（1）依據幾何語言進行作圖即可；

（2）依據△ACD≌△BCE，即可得到∠CBE＝∠A，再根據三角形內角和定理，即可用含α的代數式表示∠DEB；

（3）根據銳角三角形的外心位于三角形內部，即可得出α的取值范圍．

解：（1）如圖，CE、BE、DE為所作；

（2）∵將線段CD繞點C 逆時針旋轉90°得到線段CE，

∴∠DCE＝90°，CD＝CE

∵∠ACB＝90°，

∴∠ACD＝∠BCE＝α，

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE (SAS)，

∴∠CBE＝∠A．

∵∠ACB＝90°，AC＝BC

∴∠A＝45°

∴∠CBE＝45°

∵∠DCE＝90°，CD＝CE

∴∠CED＝45°，

在△BCE中，∠BCE＝∠ACD＝α．

∴∠DEB＝180°﹣α﹣45°﹣45°＝90°﹣α．

（3）∵△ACD的外心在三角形的內部，

∴△ACD是銳角三角形，

∴∠ACD＜90°，∠ADC＜90°，

又∵∠A＝45°，

∴∠ACD＞45°，

∴45°＜α＜90°．