Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于兩點，與軸交于點連接，已知，且，

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點為直線下方拋物線上一動點，過點作軸交于點，連接

①若，求此時點的坐標；

②若點關于直線的對稱點恰好落在軸上，求此時點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=x2x-3；（2）①點D坐標為（1，）或（3，-3）；②點D坐標為（，）．

【解析】

（1）設拋物線解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），由C點坐標可得OC的長，根據可求出BC的長，利用勾股定理可求出OB的長，即可得出點B坐標，把A、B、C三點坐標代入y=ax2+bx+c，解方程組求出a、b、c的值即可得拋物線解析式；

（2）①由B、C坐標可求出直線BC的解析式，設D（m，m2m-3），把m代入直線BC解析式可得點E縱坐標，根據列方程求出m的值即可得答案；

②根據軸對稱的性質可得∠E′CD=∠ECD，根據平行線的性質可得∠E′CD=∠CDE，即可得出∠ECD=∠CDE，可得DE=CE，設D（n，n2n-3），則E（n，n-3），根據兩點間距離公式列方程求出n值即可得答案．

（1）設拋物線解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），

∵C（0，-3），

∴OC=3，

∵，

∴BC==5，

∴OB==4，

∴B（4，0）

∵A（-1，0），

∴，

解得：，

∴拋物線的解析式為y=x2x-3．

（2）設D（m，m2m-3），

設直線BC的解析式為y=kx+b，

∴，

解得：，

∴直線BC的解析式為y=x-3，

∵DE //ｙ軸，

∴點E坐標為（m，m-3），

∵，

∴m-3-（m2m-3）=，

解得：m1=1，m2=3，

當m=1時，m2m-3=，

當m=3時，m2m-3=-3，

∴點D坐標為（1，）或（3，-3）．

（3）如圖，點關于直線的對稱點恰好落在軸上，

∴∠E′CD=∠ECD，

∵DE//y軸，

∴∠E′CD=∠CDE，

∴∠ECD=∠CDE，

∴CE=DE，

設D（n，n2n-3），則E（n，n-3），

∵C（0，-3），

∴n-3-（n2n-3）==n，

解得：n1=，n2=0（舍去），

當n=時，n2n-3=，

∴點D坐標為（，）．