Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，AC為對角線，點E，F分別在AB，AD上，BE=DF，連接EF．

（1）求證：AC⊥EF；

（2）延長EF交CD的延長線于點G，連接BD交AC于點O，若BD=4，tanG=，求AO的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）AO=1。

【解析】

（1）由菱形的性質得出AB=AD，AC平分∠BAD，再根據等腰三角形的三線合一即可；

（2）根據菱形的性質和已知條件得出四邊形EBDG為平行四邊形，得出∠G=∠ABD，再根據tanG=即可求出AO的長．

（1）證明：∵四邊形ABCD為菱形 ∴AB=AD，AC平分∠BAD

∵BE=DF， ∴ ， ∴AE=AF

∴△AEF是等腰三角形， ∵AC平分∠BAD， ∴AC⊥EF

（2）解：如圖2所示：

∵四邊形ABCD為菱形，∴CG∥AB，BO=BD=2，∵EF∥BD

∴四邊形EBDG為平行四邊形，∴∠G=∠ABD，∴tan∠ABD=tan∠G=

∴tan∠ABD=，∴AO=1