Question

【題目】如圖，直線與x軸交于A點，與y軸交于B點，動點P從A點出發，以每秒2個單位的速度沿AO方向向點O勻速運動，同時動點Q從B點出發，以每秒1個單位的速度沿BA方向向點A勻速運動，當一個點停止運動，另一個點也隨之停止運動，連接PQ，設運動時間為()．

（1）寫出A、B兩點的坐標；

（2）設的面積為S，試求出S與t之間的函數關系式，并求出當t為何值時，的面積最大；

（3）當t為何值時，以點A，P，Q為頂點的三角形與相似？并直接寫出此時點Q的坐標．

Answer 1

【答案】（1）A(6，0)，B(0，8)；（2） ，當t=3s時，取得最大值；（3）當t= s時，△APQ與△AOB相似．此時點Q的坐標為（，）．

【解析】

（1）分別令y=0,x=0求解即可得到點A、B的坐標

（2）利用勾股定理列式求出AB，然后表示AP、AQ，再利用∠OAB的正弦求出點Q到AP的距離，然后利用三角形的面積列式整理即可

（3）根據相似三角形對應角相等，分∠APQ=90°和∠AQP=90°兩種情況，利用∠OAB的余弦列式計算即可得解

解：（1）令y=0，則﹣ x+8=0，

解得x=6，

x=0時，y=8，

∴OA=6，OB=8，

∴點A（6，0），B（0，8）；

（2）在Rt△AOB中，由勾股定理得，AB===10，

∵點P的速度是每秒2個單位，點Q的速度是每秒1個單位，

∴AP=2t，

AQ=AB﹣BQ=10﹣t，

∴點Q到AP的距離為AQsin∠OAB=（10﹣t）× =（10﹣t），

∴△AQP的面積S=×2t×（10﹣t）=﹣（t2﹣10t）=﹣（t﹣5）2+20，

∵﹣＜0，0＜t≤3，

∴當t=3時，△AQP的面積最大，S最大=﹣（3﹣5）2+20= ；

（3）若∠APQ=90°，則cos∠OAB= ，

∴ = ，

解得t= ，

若∠AQP=90°，則cos∠OAB= ，

∴ = ，

解得t= ，

∵0＜t≤3，

∴t的值為 ，

此時，OP=6﹣2×=，

PQ=APtan∠OAB=（2×）×=，

∴點Q的坐標為（，），

綜上所述，t=秒時，以點A，P，Q為頂點的三角形與△ABO相似，此時點Q的坐標為（，）