Question

【題目】已知拋物線C1：y=ax2﹣4ax﹣5（a＞0）．

（1）當a=1時，求拋物線與x軸的交點坐標及對稱軸；

（2）①試說明無論a為何值，拋物線C1一定經過兩個定點，并求出這兩個定點的坐標；

②將拋物線C1沿這兩個定點所在直線翻折，得到拋物線C2，直接寫出C2的表達式；

（3）若（2）中拋物線C2的頂點到x軸的距離為2，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）（﹣1，0）或（5，0）（2）①（0，﹣5），（4，﹣5）②y=﹣ax2+4ax﹣5（3）a=或

【解析】

試題分析：（1）將a=1代入解析式，即可求得拋物線與x軸交點；

（2）①化簡拋物線解析式，即可求得兩個點定點的橫坐標，即可解題；

②根據拋物線翻折理論即可解題；

（3）根據（2）中拋物線C2解析式，分類討論y=2或﹣2，即可解題

試題解析：（1）當a=1時，拋物線解析式為y=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9，

∴對稱軸為y=2；

∴當y=0時，x﹣2=3或﹣3，即x=﹣1或5；

∴拋物線與x軸的交點坐標為（﹣1，0）或（5，0）；

（2）①拋物線C1解析式為：y=ax2﹣4ax﹣5，

整理得：y=ax（x﹣4）﹣5；

∵當ax（x﹣4）=0時，y恒定為﹣5；

∴拋物線C1一定經過兩個定點（0，﹣5），（4，﹣5）；

②這兩個點連線為y=﹣5；

將拋物線C1沿y=﹣5翻折，得到拋物線C2，開口方向變了，但是對稱軸沒變；

∴拋物線C2解析式為：y=﹣ax2+4ax﹣5，

（3）拋物線C2的頂點到x軸的距離為2，

則x=2時，y=2或者﹣2；

當y=2時，2=﹣4a+8a﹣5，解得，a=；

當y=﹣2時，﹣2=﹣4a+8a﹣5，解得，a=；

∴a=或；