Question

【題目】已知，如圖，在ABCD中，BF平分∠ABC交AD于點F，AE⊥BF于點O，交BC于點E，連接EF．

（1）求證：四邊形ABEF是菱形：

（2）若菱形ABEF的周長為16，∠BEF＝120°，求AE的大小．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）4．

【解析】

（1）先證明四邊形ABEF是平行四邊形，再證明鄰邊相等即可證明．

（2）由菱形的對角線平分對角和等邊三角形的判定推知△ABE是等邊三角形，則AE＝AB．

解:（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形,

∴AD∥BC，

∴∠EBF＝∠AFB，

∵BF平分∠ABC，

∴∠ABF＝∠CBF，

∴∠ABF＝∠AFB，

∴AB＝AF，

∵BO⊥AE，

∴∠AOB＝∠EOB＝90°，

∵BO＝BO，

在△BOA和△BOE中，

，

∴△BOA≌△BOE（ASA），

∴AB＝BE，

∴BE＝AF，BE∥AF，

∴四邊形ABEF是平行四邊形，

∵AB＝AF，

∴四邊形ABEF是菱形；

（2）解：菱形ABEF的周長為16，∠BEF＝120°，

∴BE＝AB＝4，∠AEB＝60°，

∴△ABE是等邊三角形，則AE＝AB＝4．